МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УДМУРТСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

Автономное профессиональное образовательное учреждение Удмуртской Республики «Техникум радиоэлектроники и информационных технологий

имени А.В. Воскресенского»

Практические работы по учебному предмету УП.03 Математика
Разработал преподаватель: С.И. Попова
Ижевск, 2023

Практическая работа № 1 по теме:

«Решение алгебраических задач».

1. Найдите значение выражения

2. Решите уравнение

3. Установите соответствие между графиками функций, которые их задают

4. Н айдите значение выражения при а = - 10.

5. При каких значениях а выражение 9 – 0,3а принимает положительные значения?

6. Прямая касается окружности в точке К. Точка О – центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 50⁰. Найдите величину угла МОК.

7. К атеты прямоугольного треугольника равны и . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

8. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

9. Площадь прямоугольного треугольника равна . Один из острых углов равен 30⁰. Найдите длину гипотенузы.

10. Какие из следующих утверждений верны?

1. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

2. П лощадь параллелограмма равна произведению его сторон.

3. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

11. В таблице даны результаты забега девочек 5-го класса на дистанцию 30 м. Выпишите номера дорожек, по которым бежали девочки, получившие зачёт.

12. На диаграмме показано количество запросов со словом СНЕГ, сделанных на поисковом сайте Yandex.ru во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество запросов за данный месяц. Определите по диаграмме наибольшее месячное количество запросов со словом СНЕГ в период с марта по сентябрь 2009 года.

13. С тиральная машина, которая стоила 5500 рублей, продаётся с 20-процентной скидкой. При покупке этой машины покупатель отдал кассиру 4500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

14. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. найдите высоту меньшей опоры.

15. На диаграмме показаны религиозные составы населения Германии, США, Австрии и Великобритании. Определите по диаграмме, в каких странах суммарная доля протестантов и католиков превышает 75%.

16. Закон Джоуля – Ленца можно записать в виде Q = I²Rt, где Q – количество теплоты (в джоулях), I – сила тока (в амперах), R – сопротивление цепи (в омах), а t – время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите t (в секундах), если Q=378 Дж, I =3А, R = 7 Ом.

Критерии оценивания:

«3» - верно выполнены 8-10 заданий;

«4» - верно выполнены 11-14 заданий;

«5» - верно выполнены 15-16 заданий.

Практическая работа № 2 по теме:

«Выполнение арифметических действий над числами. Сравнение числовых выражений»

Вариант 1

1. Вычислите значения выражения:

1. ;

2. ;

3. .

2. Представьте в виде произведения степеней различных простых чисел:

1. 512;

2. 8041;

3. 1000188.

3. Сопоставьте паре чисел пару, состоящую из их НОК и НОД:

А.

Числа	НОК; НОД
	24; 3	108; 18	144; 18	36; 3
36; 54
12; 9

В.

Числа	НОК; НОД
	27648; 8	1332; 2	1274; 91	11088; 7
637; 182
112; 693

С.

Числа	НОК; НОД
	900; 60	1890; 3	2975; 17	4515; 43
135; 42
425; 119

4. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1. 0,(13);

2. 1,(4);

3. – 1,12(15).

5. Сравните числа:

1. 2,13 · 10¹¹ и 1,81 · 10¹²;

2. 1,27 · 10^-3 и 5,41 · 10^-4;

3. .

Вариант 2

1. Вычислите значения выражения:

1. ;

2. ;

3. .

2. Представьте в виде произведения степеней различных простых чисел:

1. 97;

2. 14641;

3. 13832.

3. Сопоставьте паре чисел пару, состоящую из их НОК и НОД:

А.

Числа	НОК; НОД
	24; 3	108; 18	144; 18	36; 3
18; 144
3; 24

В.

Числа	НОК; НОД
	27648; 8	1332; 2	1274; 91	11088; 7
36; 74
1024; 216

С.

Числа	НОК; НОД
	900; 60	1890; 3	2975; 17	4515; 43
301; 645
180; 300

4. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1. 0,(15);

2. 2,(8);

3. – 2,15(13).

5. Сравните числа:

1. 8,26 · 10⁹ и 9,48 · 10⁸;

2. 2,73 · 10^-5 и 1,28 · 10^-4;

3. .

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня В;

«5» - выполнение уровня С.

Практическая работа № 3 по теме:

«Нахождение приближенных значений величин погрешностей вычислений»

Вариант 1

1. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел: а) 0,8; б) 19,3.

2. Амперметр даёт точность ±0,015А. При измерении силы тока получили 15,94А. Укажите границы этого числа.

3. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел: а) 14,23±0,002; б) 124±20.

4. Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел: а) 0,3281±0,05; б) 24,734±0,06.

5. Округлить точные числа: а) 286; б) 7,19 – до двух значащих цифр с недостатком и с избытком. Найдите относительную погрешность каждого округления.

Вариант 2

1. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел: а) 0,6; б) 27,9.

2. Амперметр даёт точность ±0,025А. При измерении силы тока получили 17,58. Укажите границы этого числа.

3. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел: а) 12,43±0,002; б) 138±20.

4. Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел: а) 2,0637±0,0025; б) 14,0367±0,8.

5. Округлить точные числа: а) 268; б) 45,8– до двух значащих цифр с недостатком и с избытком. Найдите относительную погрешность каждого округления.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа №4

по теме: «Выполнение действий над комплексными числами»

Вариант 1

1. Вычислите значение выражений:

А. 1) 2) .

Б. 1) 2) .

В. 1) 2) .

2. Изобразите множество точек, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

А. │z│≤ 4;

Б. │zi - i│≥ 6;

В. │z - i│+│z+1│ = 1.

3. Найдите корни уравнения:

А. z² + 7z + 100 = 0;

Б. z³ – 8 = 0;

В. z⁴ +8z² + 7 = 0.

Вариант 2

1. Вычислите значение выражений:

А. 1) 2) .

Б. 1) 2) .

В. 1) 2) .

2. Изобразите множество точек, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

А. │z-i│≥ 9;

Б. │zi +1│≤ 12;

В. │z -2 i│+│z+1 - 1│ = 1.

3. Найдите корни уравнения:

А. z² - 11z + 90 = 0;

Б. z³ + 8 = 0;

В. z⁴ +12z² + 32 = 0.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня Б;

«5» - выполнение уровня В.

Практическая работа № 5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант А1 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: , (x>0, y>0) Внесите множитель под знак корня: , (х>0) Сравните числа: .	Практическая работа № 5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант А2 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: , (x>0, y>0) Внесите множитель под знак корня: , (х>0) Сравните числа: .
Практическая работа № 5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант Б1 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: Внесите множитель под знак корня: Сравните числа: .	Практическая работа № 5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант Б2 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: Внесите множитель под знак корня: Сравните числа: .
Практическая работа №5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант B1 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: , Внесите множитель под знак корня: Расположите числа в порядке возрастания:	Практическая работа № 5 по теме: «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами» Вариант B2 Вычислите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: Вынесите множитель из под знака корня: , Внесите множитель под знак корня: Расположите числа в порядке возрастания:

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня Б;

«5» - выполнение уровня В.

Практическая работа №6 по теме:

«Решение иррациональных уравнений»

Вариант А1 Вариант А2

1. Решите уравнения:

_{   }

2. Определите при каких значениях х

_{   }

Вариант Б1 Вариант Б2

1. Решите уравнения:

_{   }

2. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций:

_{   }

Вариант В1 Вариант В2

1. Решите уравнения:

_{   }

2. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций:

_{   }

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня Б;

«5» - выполнение уровня В.

Практическая работа №7 по теме:

«Нахождение значения степени с рациональным и с действительным показателем. Сравнение степеней»

1 вариант

1. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г)

2. Представить в виде степени с рациональным показателем:

а) _{ }; б) _{ };

3. Вычислить: а) ; б) ;

4. Сравнить числа:

а) или ; б) или ; в) или г) или

5. Сравнить число с единицей: а) _{ }; б) _{ }

Практическая работа №7 по теме:

«Нахождение значения степени с рациональным и с действительным показателем. Сравнение степеней»

2 вариант

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г)

2. Представить в виде степени с рациональным показателем:

а) _{ }; б) _{ };

3. Вычислить: а) ; б) ;

4. Сравнить числа:

а) или б) или ; в) или г) или

5. Сравнить число с единицей: а)_{ }; б) _{ }

Критерии оценивания:

«3» - верно выполнено 7-10 примеров

«4» - верно выполнено 11-13 примеров

«5» - верно выполнено все 14 примеров

Практическая работа № 8 по теме:

"Преобразование выражений, содержащих степени"

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Проверочная работа № 9 по теме:

"Решение показательных уравнений, систем уравнений"

Вариант 1. Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5. _{ }

Вариант 2. Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5._{ }

Критерии оценивания:

«3» - выполнено 3 задания;

«4» - выполнено 4 задания;

«5» - выполнено 5 заданий.

Практическая работа №10 по теме: «Вычисление и сравнение логарифмов» ВАРИАНТ 1 1. Вычислите: lg100; ; ; ; ; ; ; ; ; 2. Сравните числа: ; ; ; .

Практическая работа №10 по теме: «Вычисление и сравнение логарифмов» ВАРИАНТ 2 1. Вычислите: lg1000; ; ; ; ; ; ; ; ; 22. Сравните числа: ; ; ; .

Критерии оценивания:

1. 1) 1 балл; 2) 1 балл; 3) 1 балл; 4) 1 балл; 5) 2 балла; 6) 2 балла; 7) 3 балла; 8) 4 балла; 9) 4 балла; 10) 5 балла.

2. 1) 1 балл; 2) 1 балл; 3) 2 балла; 4) 3 балла.

«5» - 28-31 балл;

«4» - 23-27 баллов;

«3» - 17-22 балла.

«2» - менее 17 баллов

Практическая работа № 11 по теме:

«Нахождение значения степени логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому»

Вариант 1

1. Выразите через логарифмы по основанию 2 и упростите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

2. Вычислите:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Вариант 2

1. Выразите через логарифмы по основанию 2 и упростите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

2. Вычислите:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Критерии оценивания:

1. 1) 1 балл; 2) 1 балл; 3) 1 балл; 4) 1 балл.

2. 1) 2 балл; 2) 2 балл; 3) 2 балл; 4) 3 балла; 5) 2 балла; 6) 2 балла; 7) 3 балла.

«5» - 18-20 балл;

«4» - 15-17 баллов;

«3» - 12-14 балла;

«2» - менее 12 баллов.

Практическая работа № 12 по теме:

«Решение логарифмических уравнений»

Вариант 1

Решите уравнения:

Вариант 2

Решите уравнения:

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа № 13 по теме:

"Решение прикладных задач"

Вариант 1

1. Число жителей города – новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?

2. При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется _{ } часть первоначальной массы воздуха?

3. Доказать, что последовательность значений функции _{ } при натуральных значениях _{ } является геометрической прогрессией.

4. За первый год работы предприятие имело _{ } рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на _{ }. Какой станет прибыль предприятия за _{ } год работы?

5. Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 1м ведётся из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через её центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от неё до края мишени и до центра была не больше 2 см?

Вариант 2

1. Число жителей города – новостройки увеличивается ежегодно на 5%. Через сколько лет число жителей удвоится?

2. При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 2,1% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется _{ } часть первоначальной массы воздуха?

3. Доказать, что последовательность значений функции _{ } при натуральных значениях _{ } является геометрической прогрессией.

4. За первый год работы предприятие имело _{ } рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на _{ }. Какой станет прибыль предприятия за _{ } год работы?

5. Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 3 м ведётся из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через её центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от неё до края мишени и до центра была не больше 4 см?

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа №14 по теме: «Решение задач с использованием аксиом стереометрии»
Вариант I	Вариант II
 Заполните пропуски:
а) Через любые три точки, _______, проходит плоскость, и притом _______.	а) Если две точки прямой лежат в плоскости, _______ лежат в этой плоскости.
б) Через прямую и _______ точку проходит плоскость, и притом _______.	б) Через две _______ прямые проходит плоскость, и притом _______.
в) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _______ на которой лежат _______ этих плоскостей.	в) Через две _______ прямые проходит плоскость, и притом _______.
 Ответьте на вопросы:
Верно ли, что:
а) любые три точки лежат в одной плоскости;	а) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
б) любые четыре точки не лежат в одной плоскости?	б) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:
пересекает две стороны треугольника?	проходит через одну из вершин треугольника?
Ответ обоснуйте.
 Решите задачи:
Вариант А1	Вариант А2
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие
в плоскости SAB;	в плоскости ABC;
б) плоскость, в которой лежит
прямая MN;	прямая KM;
в) прямую, по которой пересекаются плоскости
(ASC) и (SBC)	(SAC) и (CAB)
 Точки A, B, C и K не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли прямые AC и BK? (Ответ поясните)	 В пересекающихся плоскостях α и β взяты точки A и B, которые не лежат на линии их пересечения, прямой c. Пересекаются ли прямые AB и c? (Ответ поясните)

Вариант Б1	Вариант Б2
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие
прямую DE;	прямую ED;
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
(AEF) и (SBC)	(BDE) и (SAC)
в) две плоскости, которые пересекает
прямая SB	прямая AC
 Через сторону AB ромба ABCD проведена плоскость α. Точки E, F – середины сторон AD и DC. 1) постройте точку пересечения прямой EF и плоскости α. 2) Вычислите расстояние от этой точки до точек A и B, если BC = 12 см	 Через сторону BC параллелограмма ABCD проведена плоскость α. Точки K и M – середины сторон AB и AD. 1) постройте точку пересечения прямой MK и плоскости α 2) Вычислите расстояние от этой точки до точек B и C, если AD = 14 см
Вариант В1	Вариант В2
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие
прямую B1C	прямую AB1
б) прмую, по которой пересекаются плоскости
(B1CD) и (AA1D1)	(ADC1) и (A1B1B)
в) плоскость не пересекающуюся
с прямой CD1	с прямой BC1
 Вершина C плоского четырехугольника ABCD лежат в плоскости α, а точки A, B и D не лежат в одной плоскости. Прямые AB и AD пересекают плоскость α в точках B1 и D1 соответственно. Каково взаимное расположение точек C, B1 и D1? Ответ объясните.	 Точка D не лежит в плоскости α. Прямые a и b проходят через точку D и пересекают плоскость α в точках A и B. Соответственно прямая l не проходит через точку D, пересекается с a и b и пересекает плоскость α в точке L. Каково взаимное расположение точек A, B и L? Ответ объясните.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня Б;

«5» - выполнение уровня В.

Практическая работа №15 по теме:

«Решение задач на применение следствий из аксиом стереометрии»

Вариант А1 Вариант А2

№ 1

По данным рисунка постройте:

а) точки пересечения

б) линию пересечения

№ 2

На данном рисунке плоскость α содержит точки A, B, C и D, но не содержит точку M.

а) Постройте точку K – точку пересечения

б) Лежит ли точка K в плоскости α? Ответ объясните.

Вариант Б1 Вариант Б2

№ 1

По данным рисунка постройте:

а) точки пересечения

б) линию пересечения

№ 2

На данном рисунке точки A и B лежат в плоскости α, а точки С и D – в плоскости β.

а) Постройте линии пересечения

б) Определите, при каком расположении

Вариант В1 Вариант В2

№ 1

На данном рисунке точка K лежит в плоскости ASB, а точка N – на отрезке AD. Постройте:

а) точки пересечения

б) линию пересечения

Н а данном рисунке точки A, B, C и D лежат в плоскости α, а M ϵ α.

а) Постройте линию пересечения

б) Определите, при каком взаимном расположении точек A, B, C и D линия пересечения данных плоскостей не будет пересекаться с плоскостью α.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение уровня А;

«4» - выполнение уровня В;

«5» - выполнение уровня С.

Практическая работа №16 по теме:

«Решение задач на параллельность прямых в пространстве.»

1. Заполните пропуски:

Решите задачи:

1) Точка В отрезка АВ лежит в плоскости α. Через точку A проведена прямая, пересекающая плоскость α в точке А1. Через середину отрезка АВ, точку С – прямая с, параллельная АА1. а) Постройте точку пересечения прямой с и плоскости α (С1). б) Вычислите СС1, если АА1 = 22 см. α

1) Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью α. Через его концы проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках А1 и В1. Точка К – середина отрезка АВ. а А К В В1 А1 α ) Постройте точку пересечения плоскости α и прямой содержащей точку К и параллельной прямой АА1. б) Вычислите длину отрезка КК1, если АА1=10 см, ВВ1=6 см.

Критерии оценивания:
«5»	Задание 1	В1
«4»		Б1
«3»		А1 (1 или 2)

Практическая работа №17 по теме:

“Решение задач на параллельность прямой и плоскости в пространстве”

1 .Запишите алгоритм распознавания взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Нет

Да

Да

В1	В2
1.Дан куб ABCDA1B1C1D1. 1)Постройте отрезок, являющийся пересечением грани ABB1A1 и плоскости α, в которой лежат прямая СС1 и точка К – середина АВ. 2)Постройте сечение куба плоскостью α. 3)Вычислите периметр построенного сечения если ребро куба равно 20 см.	1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. 1)Постройте отрезок, являющийся пересечением грани ВСС1В1 и плоскости α, в которой лежат прямая AD1 и точка К – середина ребра ВС. 2) Постройте сечение куба плоскостью α. 3) Вычислите периметр построенного сечения если ребро куба равно 16 см.
2.Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли утверждение: любая прямая плоскости α параллельна прямой а?	2.Верно ли утверждение: Две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны?

Критерии оценивания:

“5”- 1 задание и вариант В;

“4”- 1 задание и вариант Б;

“3”- 1 задание и вариант А.

Практическая работа № 18 по теме:

«Решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

1) Запишите алгоритмы распознавания взаимного расположения двух прямых в пространстве.

2) 1 Вариант 2) 2 Вариант

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁

Установите взаимное расположение прямых:

AD … A₁D₁ BC … B₁C₁

AD … B₁C₁ BC … A₁D₁

AB₁ … B₁C₁ CD₁ … CD

AB₁ … DC₁ CD₁ … BA₁

B₁C₁ … DC₁ AB … A_1­B

BB₁ … DC AA₁ … BC

3) 1 Вариант Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ 3) 2 Вариант

Докажите, что прямые являются скрещивающимися.

AA₁ и B₁C₁ A₁D₁ и DC

Прямая B₁C₁ лежит в плоскости B₁C₁D_1, Прямая A₁D₁ лежит в плоскости AA₁D₁

а прямая AA₁ пересекает эту плоскость а прямая A1D1пересекает эту плоскость

, ,

причем A₁∉ B₁C₁, так как , причем D∉ A₁D₁, так как ,

поэтому, согласно , поэтому, согласно ,

прямые AA₁ и B₁C₁ являются прямые A₁D₁ и DC являются

. .

4) Будем использовать следующие обозначения для взаимного расположения прямых в пространстве:

a || b – прямые a и b параллельны

a X b – прямые a и b пересекаются

a . b – прямые a и b скрещиваются.

Что можно сказать о расположении прямых b и с при выполнении указанных условий (ответ не обязательно единственный)

1 Вариант 2 Вариант

Критерии оценивания:

“5”- выполнение всех заданий;

“4”- выполнение заданий 1, 2, 3;

“3”- выполнение заданий 1, 2;

Практическая работа № 19 по теме:

«Решение задач на параллельность плоскостей в пространстве.

Вариант I Вариант II

Критерии оценивания:

«5» сделано 1 и вариант В

«4» сделано 1 и вариант Б

«3» сделано 1 и вариант А

Практическая работа № 20 по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Критерии оценивания:

«3» - верно выполнено 5 – 7 заданий

«4» - верно выполнено 8 - 9 заданий

«5» - верно выполнено 10 заданий

Проверочная работа № 21по теме:

«Решение задач на нахождение двугранных углов»

1 вариант

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Чему равен угол между плоскостью нижней грани и плоскостью , проходящей через прямые A₁B₁ и DC ?

2. В тетраэдре DАВС ребро АD перпендикулярно к плоскости АВС, АС=АВ=10 см, ВС=12 см, АD=8 см. Найдите линейный угол двугранного угла АВСD.

3. Треугольник ABC – прямоугольный (∠С=90⁰), ∠А=30⁰, АС = а, DC ⊥ (ABC), DC = a_{ }/2. Чему равен угол между плоскостями (ADB) и (ACB)?

4. ABCD – квадрат, О- точка пересечения диагоналей, OM ⊥ (ABC), OM = _{ }. Сторона квадрата равна 2_{ } . Найти угол между плоскостями (BDC) и (DMC).

2 вариант

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Чему равен угол между плоскостями двух смежных граней куба?

2. В тетраэдре DАВС ребро АD перпендикулярно к плоскости АВС, АС=АВ=10 см, ВС=18см, АD=12см. Найдите линейный угол двугранного угла АВСD.

3. ABCD – ромб, ∠А=60⁰, АB = m, BE ⊥ (ABC), BE = m_{ }/2. Найти угол между плоскостями (AED) и (ABC).

4. Треугольник ABC – правильный, О – середина АС, ОD ⊥ (ABC), ОD = 2_{ }. Сторона треугольника равна 8_{ }/3. Найти угол между плоскостями (BDC) и (ABC).

Критерии оценивания:

“5”- выполнение всех заданий;

“4”- выполнение заданий 1, 2, 3;

“3”- выполнение заданий 1, 2;

Практическая работа № 22 по теме:

«Решение задач на нахождение углов и расстояний в пространстве»

Вариант 1

1. В ромбе ABCD AB = 10 см, угол BAD равен 45⁰, ВЕ – перпендикуляр к плоскости АВС. Двугранный угол EADB равен 60⁰.

1. Найдите расстояние от точки Е до плоскости АВС;

2. Вычислите угол между прямой АЕ и плоскостью ромба.

2. В треугольнике ABC угол С равен 900, BС = 5 см. Прямая ВD перпендикуляр к плоскости треугольника. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно 5√3.

1. Найдите расстояние от точки D до прямой АС;

2. Найдите двугранный угол DАBС;

3. Какие из плоскостей ABD, CBD, ADC перпендикулярны плоскости АВС и почему?

Вариант 2

1. В параллелограмме ABCD АВ = 20 см, угол BAD равен 45⁰, ВМ - перпендикуляр к плоскости АВС. Угол между прямой МА и плоскость АВС равен 60⁰.

1. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС;

2. Вычислите двугранный угол МADB.

2. Прямая МЕ перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ. Сторона ЕР равна 5 см, расстояние от точки М до прямой РН равно 10 см.

1. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН;

2. Найдите двугранный угол МРНЕ;

3. Какие из плоскостей НМР, МЕР, МЕН перпендикулярны плоскости ЕНР и почему?

Критерии оценивания:

«5» - выполнение всех заданий;

«4» - выполнение заданий 1(а, б); 2(а, б);

«3» - выполнение заданий 1(а); 2(а).

Практическая работа № 23 по теме:

«Правила комбинаторики»

Вариант 1

1. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите, сколькими способами из вазы можно выбрать букет, состоящий из двух белых роз и одной красной розы?

2. Даны цифры _{ }. Определите, сколько четырехзначных чисел можно составить из них (цифры в одном числе не должны повторяться) при условии, что все остальные числа должны быть меньше 6000.

3. 12 человек разделены на группы по 4 человека в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

4. Из 8 юношей и 6 девушек выбирают три пары для участия в танцевальном конкурсе. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

5. На четырех полках необходимо расставить пять книг. Сколькими способами это можно сделать, если на первой полке должны стоять только одна любая книга?

Вариант 2

1. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите, сколькими способами из вазы можно выбрать букет, состоящий из двух красных роз и одной белой розы?

2. Даны цифры _{ }. Определите, сколько четырехзначных чисел можно составить из них (цифры в одном числе не должны повторяться) при условии, что все остальные числа должны быть больше 4000.

3. 12 человек разделены на группы по 3 человека в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

4. Из 6 различных букв и 10 различных цифр составляют 4 кода «буква-цифра». Сколькими способами это можно сделать?

5. За пять дней садовник должен высадить шесть различных деревьев. Сколькими способами он может распределить работу, если в первый день он должен высадить только одно любое дерево?

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа № 24 по теме:

«Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки»

Вариант 1

1. Вычислите: а) _{ }; б) _{ }

2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных уроков?

3. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

4. Решите уравнение: _{ };

5. Вычислите: а) _{ }; б) _{ };

6. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр _{ } ( цифры в одном числе не должны повторяться) ?

7. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

8. Вычислите: _{ };

9. Сколько различных неправильных дробей, не равных единице, можно составить, используя в числителе и знаменателе числа 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13?

10. Сколько различных натуральных делителей имеет число 210?

Вариант 2.

1. Вычислите: а) _{ }; б) _{ }

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в одном числе не должны повторяться)?

3. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

4. Решите уравнение: _{ };

5. Вычислите: а) _{ }; б) _{ };

6. Сколькими способами можно расставить на книжной полке тома 4 – томника Эдгара По так, чтобы четвертый том не стоял крайним слева?

7. Сколько существует различных треугольников с вершинами в 7 данных точках, если известно, что 3 из них лежат на одной прямой?

8. Вычислите: _{ };

9. Из 11 учебных предметов составляют расписание дня из 5 уроков. Сколькими способами это можно сделать при условии, чтобы в расписании была физкультура, но не на первых трех уроков?

10. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 3, 5, 7, 11, 13, используя каждый множитель по одному разу?

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 6-7 задания;

«4» - выполнение 8-9 заданий;

«5» - выполнение 10 заданий.

Практическая работа № 25 по теме:

«Бином Ньютона и треугольник Паскаля».

Вариант 1

1. Записать разложение бинома:

1. (а + 1)⁷; 2)(1 + 2х)⁸;

2. (4b – ¹/₄)⁴.

2. Возвести в степень:

1. _{ };2)_{ }.

3. Найдите пятый член разложения бинома:

1. _{ }; 2)_{ }.

4. Найдите значение суммы:

1. _{ };

2. _{ }.

5. Найдите член разложения бинома:

1. _{ }, содержащий а⁵;

2. _{ }, содержащий х¹³.

Вариант 2

1. Записать разложение бинома:

1. (х + 1)⁸; 2)(2 + у)⁷;

2. (¹/₃ – 3х)⁴.

2. Возвести в степень:

1. _{ }; 2)_{ }.

3. Найдите шестой член разложения бинома:

1. _{ }; 2)_{ }.

4. Найдите значение суммы:

1. _{ };

2. _{ }.

5. Найдите член разложения бинома:

1. _{ }, содержащий b⁶;

2. _{ }, содержащий х⁵.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение заданий 1,2 и 3;

«4» - выполнение заданий 1,2,3 и 4;

«5» - выполнение всех заданий.

Практическая работа № 26 по теме:

«Решение прикладных задач»

Вариант 1

1. Сколькими способами можно составить дозор из трёх солдат и одного офицера, если всего в наличии 50 солдат и 3 офицера?

2. Пишутся последовательности из 30 символов 0 или 1. Докажите, что их число больше 10⁹.

3. В двух ящиках лежит по одинаковому количеству разных резисторов. Первый человек выбрал по одному резистору из каждого ящика, а перед тем, как стал выбирать по одному резистору второй человек, кто-то переложил один резистор из одного ящика в другой. У кого из них больше вариантов выбора, если учесть, что выбранные резисторы возвращаются обратно?

4. Используйте биноминальную формулу для приближенного вычисления выражения 1,002¹⁰.

5. Сколько различных сопротивлений можно получить, используя резисторы и их соединения, из следующего набора: R₁ = 10, R₂ = 100 и R₃ = 1000 Ом .

Вариант 2

1. Белоснежка и семь гномов садятся за круглый стол. Известно, что Ворчун не хочет сидеть рядом с Весельчаком и Соней. Сколькими способами их можно рассадить за стол так, чтобы Ворчуна всё устраивало, если считать, что не важно, кто на какое место сядет, важно только, кто будет соседями каждого гнома и Белоснежки?

2. Пишутся последовательности из 25 символов 0 или 1. Докажите, что их число больше 10⁹.

3. В двух ящиках лежит по одинаковому количеству разных резисторов. Первый человек выбрал по одному резистору из каждого ящика, а перед тем, как стал выбирать по одному резистору второй человек, кто-то переложил один резистор из одного ящика в другой. У кого из них больше вариантов выбора, если учесть, что выбранные резисторы возвращаются обратно?

4. Используйте биноминальную формулу для приближенного вычисления выражения .

5. Сколько различных сопротивлений можно получить, используя резисторы и их соединения, из следующего набора: R₁ = 12, R₂ = 90 и R₃ = 1000 Ом .

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 заданий;

«4» - выполнение 4 заданий;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа № 27 по теме:

« Выполнение действий над векторами».

Вариант 1

_{ } – треугольная пирамида. Точки _{ } – середины ребер _{ } соответственно. Назовите вектор с началом и концом в вершинах пирамиды или данных точках, равный: а) _{ }; б) _{ }; в) _{ }.

2. Дан квадрат _{ } и произвольная точка _{ }. Докажите, что: а) _{ }; б) _{ }

_{ } – правильная четырехугольная пирамида. Точка _{ } – центр основания пирамиды. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный:

_{ }; б) _{ }; в) _{ }

4. Векторы _{ } коллинеарны. Докажите коллинеарность векторов _{ }.

5. Точка _{ } равноудалена от вершин прямоугольника _{ }. Докажите, что : а) _{ }; б) _{ }

Вариант 2

_{ } – треугольная пирамида. Точки _{ } – середины ребер _{ } соответственно. Назовите вектор с началом и концом в вершинах пирамиды или данных точках, равный: а) _{ }; б) _{ }; в) _{ }.

2. Дан квадрат _{ } и произвольная точка _{ }. Докажите, что: а) _{ }; б) _{ };

_{ } – правильная четырехугольная пирамида. Точка _{ } – центр основания пирамиды. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный:

_{ }; б) _{ }; в) _{ }

4. Векторы _{ } коллинеарны. Докажите коллинеарность векторов _{ }.

5. Точка _{ } равноудалена от вершин прямоугольника _{ }. Докажите, что : а) _{ }; б) _{ }

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 заданий;

«4» - выполнение 4 заданий;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа № 28 по теме:

« Решение простейших задач в координатах».

Вариант 1

1. Даны точки _{ }:

   1. Найдите координаты середины отрезка _{ };

   2. Найдите координаты точки _{ }, если точка А – середина отрезка _{ };

   3. Найдите расстояние от точки А до плоскости _{ }.

2. Даны векторы _{ }. Найдите: _{ }.

3. Даны точки _{ }:

1. Докажите, что треугольник _{ } – равнобедренный;

2. Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

4. Даны точки _{ }. Найдите координаты точки С – середины отрезка _{ }.

5. Дан вектор _{ }. Найдите координаты вектора _{ }, если _{ }, и векторы _{ } сонаправлены.

6. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма _{ }, если _{ }.

7. Даны точки _{ }. Найдите координаты точки _{ }, если точки _{ } делят отрезок _{ } в отношении 1:2:1.

8. Векторы _{ } и _{ } коллинеарны. Найдите координаты вектора _{ }, если _{ }.

Вариант 2

1. Даны точки _{ }:

   1. Найдите координаты середины отрезка _{ };

   2. Найдите координаты точки _{ }, если точка B – середина отрезка _{ };

   3. Найдите расстояние от точки B до плоскости _{ }.

2. Даны векторы _{ }. Найдите: _{ }.

3. Даны точки _{ }:

3. Докажите, что треугольник _{ } – равнобедренный;

4. Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

4. Даны точки _{ }. Найдите координаты точки С – середины отрезка _{ }.

5. Дан вектор _{ }. Найдите координаты вектора _{ }, если _{ }, и векторы _{ } противоположно направлены.

6. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма _{ }, если _{ }.

7. Даны точки _{ }. Найдите координаты точки _{ }, если точки _{ } делят отрезок _{ } в отношении 1:2:1.

8. Векторы _{ } и _{ } коллинеарны. Найдите координаты вектора _{ }, если _{ }.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 4-5 заданий;

«4» - выполнение 6-7 заданий;

«5» - выполнение 8 заданий.

Практическая работа № 29 по теме:

«Составление уравнений сферы, плоскости и прямой в пространстве».

Вариант 1

1. Точка А (0;√2; √5) лежит на сфере с центром О (3; 0; 0).

1. Запишите уравнение сферы;

2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами (5; 0; 2√3), (4; - 1; 0)?

2. Даны точки А (- 3; 1,5; - 2) и В (3; - 2,5; 2). Отрезок АВ является диаметром сферы.

1. Запишите уравнение сферы;

2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами (√7; -1,5; 3), (3; 2,5; 1)?

3. Даны сфера x² + y² + z² = 25 и плоскость, проходящая через точки (0; 8; 0), (0; 0; ^8√3/₃) параллельно оси Ох. Пересекает ли эта плоскость сферу? В случае пересечения найдите длину линии пересечения.

4. Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами

x² + y² + z² = 2x + 4y – 6z + 11; x² + y² + z² – 8y +6z = - 21?

5. Даны три точки А (1; 2; 0), В (2; 3; 0), С(3; 4; 7). Напишите уравнения:

1. Прямой АВ;

2. Прямой, проходящей через В и параллельно оси Ох;

3. Плоскости, содержащей все три данные точки.

Вариант 2

1. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через точку А (2√2;0; 5).

1. Запишите уравнение сферы;

2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами (0; √5; 6), (3; 1; 5)?

2. Точки С (1; - 1,5; 3) и В (- 1; 2,5; - 3) лежат на сфере. Центр сферы принадлежит отрезку СВ.

1. Запишите уравнение сферы;

2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами (3;-1,5; √7), (1; 2,5; 3)?

3. Плоскость α параллельна оси Оz,пересекает плоскость Оху по прямой а. Прямая а в плоскости Оху имеет уравнение у = 6√2 - х. Пересечет ли плоскость α сферу x² + y² + z² = 100? В случае пересечения найдите длину этой линии .

4. Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами

x² + y² + z² = 2x – 6z + 61; x² +4х + y² + z² = 6y +8z -4?

5. Даны три точки А (1; 0; 2), В (0; 3; 2), С(4; 3; 7). Напишите уравнения:

1. Прямой АВ;

2. Прямой, проходящей через В и параллельно оси Ох;

3. Плоскости, содержащей все три данные точки.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 заданий;

«4» - выполнение 4 заданий;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа № 30 по теме:

«Вычисление углов между прямыми и плоскостями»

Вариант 1

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми АD₁ и ВК, где К - середина DD₁.

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, основанием которого является квадрат со стороной 3см. Найдите угол между прямыми С₁D и А₁С, если боковое ребро равно 6 см.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра АВ, АD, AA₁ соответственно равны 2см, 4 см, 6 см. Найдите угол между прямыми ВD и АВ.

4. Найдите расстояние от точки А (10; 0; 0) до прямой, проходящей через точки В (0; 0; 0) и С (8; 6; 0).

5. Точки А(1; 0; 0), С (4; 3; 0), В (0; 5; 0) являются вершинами треугольника. Найдите высоту ВН.

Вариант 2

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми АС и DС₁.

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, основанием которого является квадрат со стороной 5см. Найдите угол между прямыми С₁D и А₁С, если боковое ребро равно 10 см.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра АВ, АD, AA₁ соответственно равны 1см, 2 см, 3 см. Найдите угол между прямыми ВD и АВ.

4. Найдите расстояние от точки В (8; 0; 0) до прямой, проходящей через точки А (0; 0; 0) и С (6; 2; 0).

5. Точки А(4; 0; 0), С (8; 2; 0), В (0; 3; 0) являются вершинами треугольника. Найдите высоту ВН.

Критерии оценивания:

«3» - выполнение 3 задания;

«4» - выполнение 4 задания;

«5» - выполнение 5 заданий.

Практическая работа №31 по теме:

«Преобразование выражений при помощи основных тригонометрических тождеств»

Вариант 1

1. Выразить в радианной мере углы : _{ };

2. Выразить в градусной мере углы:_{ };

3. Известно, что _{ }. Найдите значение трех других тригонометрических функций угла _{ }.

4. Упростите выражение: _{ }

5. Докажите тождество: _{ }