Пример решения задачи



Исходные данные: E1 = 27 В, E2 = 4 В, R1 = 4 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 7 Ом.

Найти: силу тока в резисторах: R1, R2, R3.

значения напряжения Uab, Uca, Ubf.


Составить баланс мощности.



Шаг 1. Перерисовываем заданную схему.

Шаг 2. Определяем количество узлов в схеме (n): n = 2 ( узел b и узел h ).

Шаг 3. Определяем количество уравнений, которые необходимо составить для решения задачи, используя 1 закон Кирхгофа (n-1): требуется составить 1 уравнение
( n-1 = 2-1 = 1).

Шаг 4. Определяем узлы для составления уравнений по 1 закону Кирхгофа.

Из двух присутствующих в схеме узлов ( b и h ) произвольно выбираем один (т.к. необходимо составить одно уравнение), например узел b.

Шаг 5. Определяем количество ветвей (токов, контуров) в схеме (m): m = 3 ( ветви aq,

bh, ck ).

Шаг 6. Определяем количество уравнений, которые необходимо составить для решения задачи, используя 2 закон Кирхгофа (m-(n-1)): требуется составить 2 уравнения ( m-(n-1)) = 3-(2-1) = 3 – 1 = 2).

Шаг 7. Определяем замкнутые контуры для составления уравнений по 2 закону Кирхгофа. Из трех замкнутых контуров схемы (abhqa, bckhb, ackqa) произвольно
выбираем два (т.к. необходимо составить два уравнения), например, abhqa и bckhb.

Замкнутые контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый последующий выбираемый контур входила хотя бы одна ветвь, не вошедшая ни в один из предыдущих уже выбранных контуров.

Шаг 8. Для выбранных замкнутых контуров (abhqa и bckhb ) произвольно задаем положительное направления их обхода, например, по часовой стрелке.

На рисунке показано как I и II .


Шаг 9. Для каждой ветви произвольно задаем положительное направление тока.

На рисунке показано как .


Шаг 10. Для узла c составляем уравнение на основании 1 закона Кирхгофа:

I1 + I2 + I3 = 0 (1)

Шаг 11. Для контуров abca и bcfb составляем уравнения на основании 2 закона Кирхгофа:

R1I1 - R2I2 = - E2 + E1 (2)

R2I2 - R3I3 = E2 (3)



Шаг 12. Объединяем уравнения (1), (2), (3) в систему:


I1 + I2 + I3 = 0 (4)

(а) R1I1 - R2I2 =- E2 + E1 (5)

R2I2 - R3I3 = E2 (6)


Полученная система (а) представляет собой систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (I1, I2, I3).

Шаг 13. Перепишем систему (а), подставив вместо R1, R2, R3, E1, E2, их заданные численные значения:


I1 + I2 + I3 = 0 (7)

(б) 4I1 - 3I2 = - 4 + 27 (8)

3I2 - 7I3 = 4 (9)


или, что то же самое


I1 + I2 + I3 = 0 (10)

(в) 4I1 - 3I2 = 23 (11)

3I2 - 7I3 = 4 (12)


Шаг 14. Систему (в) – систему трех уравнений с тремя неизвестными (I1, I2, I3 ) решаем, например, методом исключения переменных.

Из (10) системы (в) выразим I3:


I1 + I2 = - I3 (13)

Шаг 15. Значение I3, (см. 13) подставим в (12), получим:


(г) 4I1 - 3I2 = 23 (14)

3I2 - 7(-I1 - I2) = 4 (15)


Таким образом система из 3-х уравнений с тремя неизвестными (в) сведена к системе из 2 уравнений с двумя неизвестными (г).


Шаг 16. Упростим систему (г):



(д) 4I1 - 3I2 = 23 (16)

7I1 + 10I2 = 4 (17)




Шаг 17. Из (17) системы (д) выразим I2 :


I2 = (4 – 7I1)/10 (18)


Шаг 18. Значение I2 (18) подставим в (16), получим:



4I1 -3(4 -7I1)/10 = 23 (19)



Шаг 19. Упростим (19):


6,1I1 = 24,2 (20)


Шаг 20. Из (20) найдем I1 :


I1 = 3,9671 A (21)


Шаг 21. Значение I1 подставим в (18) и найдем I2 :


I2 = (4-7*3,97)/10

I2 = -2,377 A (22)


Шаг 22. Значение I1 = -2 из (21) и I2 = 5 из (22) подставим в (13), найдем I3 :

I3 = - I1 - I2 = -3,97 + 2,38 = - 1,59

I3 = - 1,59 A (23)








Шаг 23. Найдены все значения токов (в амперах):


I1 = 3,97 A

(е) I2 = - 2,38 A

I3 = - 1,59 A



Шаг 24. Сделаем баланс мощности:


Найдем мощность, рассеиваемую на резисторах схемы:


PSR = PR1 + PR2 + PR3 = R1(I1)2 + R2(I2)2 + R3(I3)2 =

= 4(3,97)2 + 3(- 2,38)2 + 7(- 1,59)2 = 97,73 Вт

Найдем мощность, отдаваемую источниками:


PSE = PE1 + PE2 = E1I1 + E2I2 =

= 27*3,97 + 4*(- 2,38) = 97,67 (Вт)


Баланс мощности соблюден: мощность, рассеиваемая на резисторах схемы, мощности, отдаваемой источниками (разница возможна из-за округления

результатов, но не в целой части).


Шаг 25. Найдем значения напряжений Uab, Uca, Ubf по построенным

потенциальным диаграммам

В данном примере потенциальную диаграмму строим для первого контура цепи, схема которой изображена на рисунке.


В рассматриваемый контур входят два источника питания E1 и E2, а также два потребителя энергии R1, R2.

Разбиваем данный контур на участки, границы которых обозначаем буквами a, b, c, d. Заземляем точку а, условно считая её потенциал нулевым, и обходим контур по часовой стрелке от этой точки. Таким образом, φa = 0.

Следующей точкой на пути обхода контура будет точка b. На участке ab находится источник ЭДС Е1. Так как на данном участке мы идем от отрицательного полюса источника к положительному, то потенциал повышается на величину Е1:

φb = φa + E1 = 0 + 27 = 27 В

При переходе от точки b к точке c происходит уменьшение потенциала на величину падения напряжения на резисторе R1 (направление обхода контура совпадает с направлением тока в резисторе R1:

φс = φb - I1R1 = 27 – 3,9671 х 4 = 11,1316 В

При переходе к точке d потенциал возрастает на величину падения напряжения на резисторе R2 (на этом участке направление тока встречно направлению обхода контура):

φd = φc + I2R2 = 11,1316 + (-2,377) х 3 = 4 В

Потенциал точки а меньше потенциала точки d на величину ЭДС источника E2 (направление ЭДС встречно направлению обхода контура):

φa = φd - E2 = 4 - 4 = 0 B

Результаты расчета используют для построения потенциальной диаграммы. На оси абсцисс откладывают сопротивление участков в той последовательности, как они встречаются при обходе контура от точки с нулевым потенциалом. Вдоль оси ординат откладывают рассчитанные ранее потенциалы соответствующих точек (рисунок).


Для определения потенциала точки f определяем

φf = φс + I3R3 = 11,13 + (-1,59 х 7) = 0 В

φf = φa =0 B

Для определения падения напряжения между двумя точками необходимо определить разность потенциалов

Uca = φc – φa = 12 – 0 = 12 B